বল বিভাজনের কিছু গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক সমাধান
লব্ধি একটি ভেক্টর রাশি। এর মান এবং দিক উভয়ই আছে। কিন্তু শুধুমাত্র লব্ধির মান বা Modulus অথবা Amplitude বের করতে বললে শুধুমাত্র R এর মান বের করতে হবে। দিক বের করার প্রয়োজন নেই। নিচে কিছু বল বিভাজনের গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক সমাধান দেওয়া হলো:
Q1. কোন বস্তুর উপর সমকোণে 6 kg এবং 8 kg বল কাজ করলে তাদের লব্ধির মান কত হবে?
Solution:
লব্ধি বলের মান,
`R=\sqrt{P^2+Q^2}`
`=\sqrt{6^2+8^2}`
`=\sqrt{100}`
`=10` kg (Ans)
Q2. দু'টি বল 4 kgf ও 5 kgf এ 60° কোণে কাজ করে। এদের লব্ধি বলের মান নির্ণয় কর।
Solution:
লব্ধি বলের মান,
`R=\sqrt{p^2+Q^2+2PQCos\alpha}`
`=\sqrt{4^2+5^2+2\times4\times5Cos60}`
`=7.81` kgf (Ans)
Q3. 50 N একটি বলের সাথে অপর একটি 30 N বল 60° কোণে কাজ করে। বল দু'টির লব্ধির মান নির্ণয় কর।
Solution:
লব্ধির মান,
`R=\sqrt{p^2+Q^2+2PQCos\alpha}`
`=\sqrt{50^2+30^2+2\times50\times30Cos60}`
`=70` N (Ans)
Q4. দুটি সমতলীয় সমবিন্দুগামী বল P = 60 N ও Q = 40 N এর মধ্যবর্তী কোণ 70° হলে লব্ধি নির্ণয় কর।
Solution:
লব্ধির মান,
`R=\sqrt{p^2+Q^2+2PQCos\alpha}`
`=\sqrt{60^2+40^2+2\times60\times40Cos70}`
`=82.71` N (Ans)
লব্ধির দিক,
`\theta=\tan^{-1}(\frac{Q\sin\alpha}{P+Q\cos\alpha})`
`=\tan^{-1}(\frac{40\sin70}{60+40\cos70})`
`=27.03^\circ` (Ans)
Q5. দু'টি সমান বলের অন্তর্ভুক্ত কোণ 90° হলে, লব্ধি বলের মান ও দিক নির্ণয় কর।
Solution:
লব্ধি বলের মান,
`R=\sqrt{p^2+Q^2}`
`=\sqrt{P^2+P^2}`
`=P\sqrt{2}` (Ans)
লব্ধি বলের দিক,
`\theta=\tan^{-1}(\frac{Q}{P})`
`=\tan^{-1}(\frac{P}{P})`
`=45^\circ` (Ans)
Q6. P ও Q দু'টি বলের মান যথাক্রমে 20 N এবং 40 N. বল দু'টির মধ্যবর্তী কোণ 60° হলে লব্ধি বলের মান ও দিক নির্ণয় কর।
Solution:
লব্ধির মান,
`R=\sqrt{p^2+Q^2+2PQCos\alpha}`
`=\sqrt{20^2+40^2+2\times20\times40Cos60}`
`=52.915` N (Ans)
লব্ধির দিক,
`\theta=\tan^{-1}(\frac{Q\sin\alpha}{P+Q\cos\alpha})`
`=\tan^{-1}(\frac{40\sin60}{20+40\cos60})`
`=40.89^\circ` (Ans)
Q7. P এর সর্বনিম্ন মান নির্ণয় বের কর যখন লব্ধি আনুভূমিক হয় এবং লব্ধি বল নির্ণয় কর।
Solution:
P এর সর্বনিম্ন মানের জন্য ভেক্টর ডায়াগ্রাম,
`P_{min}=50\sin25^\circ`
`=21.13` N (Ans)
`R=50\cos25^\circ`
`=45.315` N (Ans)
Q8. দু'টি ছোট নৌকা একটি ফেরিকে টানছে। যদি লব্ধি 5000 lb হয় এবং C রশির টান সর্বনিম্ন হয়, তাহলে A ও C রশির টান বের কর।
Solution:
C রশির টানের সর্বনিম্ন মানের জন্য ভেক্টর ডায়াগ্রাম,
`T_{AB}=5000\cos30^\circ`
`=4330.13` lb (Ans)
`T_{BC}=5000\sin30^\circ`
`=2500` lb (Ans)
Q9. চিত্র হতে AC ও BC রশির টান বের কর।
Solution:
ল্যামির সূত্র হতে পাই,
`\frac{T_{AC}}{\sin\120^\circ}=\frac5{\sin105^\circ}`
`T_{AC}=4.48` N (Ans)
আবার,
`\frac{T_{BC}}{\sin\135^\circ}=\frac5{\sin105^\circ}`
`T_{BC}=3.66` N (Ans)
Q10. চিত্রে আনত মসৃণ(ঘর্ষণহীন) তলে W = 10 N ওজনের বস্তুটি ধরে রাখতে তারের টেনশন বল T নির্ণয় কর।
Solution:
`T=W\sin\theta`
`=10\times\sin30^\circ`
`=5` N (Ans)
Q11. P ও Q দু'টি বল 120° কোণে ক্রিয়া করছে। P = 80 N এবং লব্ধি অপর বলের সাথে লম্ব হলে, অপর বল Q এর মান কত?
Solution:
`\tan\theta=\frac{P\sin\alpha}{Q+P\cos\alpha}`
বা, `\tan90^\circ=\frac{80\sin120^\circ}{Q+80\cos120^\circ}`
বা, `\frac10=\frac{80\sin120^\circ}{Q+80\cos120^\circ}`
বা, `Q+80\cos120^\circ=0`
∴ `Q=40` N (Ans)
Q12. 100 kg ওজনের 15 cm ব্যাসার্ধের গোলককে চিত্রের ন্যায় ঝুলানো আছে। B বিন্দুর প্রতিক্রিয়া বল বের কর। যদি AC রশির দৈর্ঘ্য 30 cm হয়।
Solution:
`\theta_1=\cos^{-1}(\frac{15}{30})=60^\circ`
আবার,
`\frac R{\sin150^\circ}=\frac{100}{\sin120^\circ}`
∴ `R=57.79` kg (Ans)
Q13. চিত্র হতে AC ও BC রশির টান বের কর।
Solution:
`\frac{T_{AB}}{\sin150^\circ}=\frac{1200}{\sin90^\circ}`
∴ `T_{AB}=600` kg (Ans)
আবার,
`\frac{T_{BC}}{\sin120^\circ}=\frac{1200}{\sin90^\circ}`
∴ `T_{BC}=1039.23` kg (Ans)
Q14. বলগুলির লব্ধি উলম্ব হলে, P এর সর্বনিম্ন মান, লব্ধি ও α এর মান নির্ণয় কর।
Solution:
`=12.67` lb (Ans)
`R=30\cos25^\circ`
`=27.18` lb (Ans)
চিত্র হতে পাই, α = 90° (Ans)
Q15. চিত্রে রোলারের উপর 30 kg ব্লকটিকে স্থির রাখার জন্য F এর সর্বনিম্ন মান ও α নির্ণয় কর।
Solution:
`=7.78` kg (Ans)
চিত্র হতে পাই, α = 15° (Ans)
