ইঞ্জিনিয়ারিং মেকানিক্স এর বেসিক কিছু প্রমাণ দেওয়া হলো
ইঞ্জিনিয়ারিং মেকানিক্স এর কিছু বেসিক এবং গুরুত্বপূর্ণ প্রমাণ দেওয়া হলো:
১। দেখাও যে, সেলফ লকিং স্ক্রু - এর দক্ষতা 50% এর চেয়েও কম।
আমরা জানি, স্ক্রু - এর দক্ষতা `n=\frac{\tan\Phi}{\tan(\alpha+\Phi)}`
সেলফ লকিং স্ক্রু এর জন্য `\Phi\geq\alpha`
α এর মান বসিয়ে পাই,
`\eta\leq\frac{\tan\Phi}{\tan(\Phi+\Phi)}`
বা, `\eta\leq\frac{\tan\Phi}{\tan2\Phi}`
বা, `\eta\leq\frac{\tan\Phi(1-\tan^2\Phi)}{2\tan\Phi}` [`\because\tan2\Phi=\frac{2\tan\Phi}{1-\tan^2\Phi}`]
বা, `\eta\leq\frac{\tan\Phi-\tan\Phi\tan^2\Phi}{2\tan\Phi}`
বা, `\eta\leq\frac1\2-\frac{\tan^2\Phi}2`
যেহেতু, `\frac{\tan^2\Phi}2>0`
∴ η<0.5 অথবা 50% [দেখানো হলো]
২। যদি দুটি বল সমান হয়, দেখাও যে লব্ধি `R=2P\cos\frac\theta2`
লব্ধি, `R=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos\theta}`
`=\sqrt{P^2+P^2+2P^2\cos\theta}`
`=\sqrt{2P^2+2P^2\cos\theta}`
`=\sqrt{2P^2(1+\cos\theta})`
`=\sqrt{2P^2(1+\cos2\frac\theta2)`
`=\sqrt{2P^2\times2\cos^2\frac\theta2}` [`\because1+\cos2A=2\cos^2A`]
`=\sqrt{4P^2\cos^2\frac\theta2}`
`=2P\cos\frac\theta2` [দেখানো হলো]
৩। P ও Q বলের লব্ধির মান নির্ণয় করো, যখন ক) বলদ্বয় একই দিকে ক্রিয়া করে। খ) বলদ্বয় বিপরীত দিকে ক্রিয়া করে।
ক) যখন বলদ্বয় একই দিকে ক্রিয়া করবে θ = 0°
লব্ধি, `R=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos\theta}`
`=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos0^\circ}`
`=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ}`
`=\sqrt{{(P+Q)}^2}`
`=P+Q` (Ans)
খ) যখন বলদ্বয় বিপরীত দিকে ক্রিয়া করবে θ = 180°
লব্ধি, `R=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos\theta}`
`=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos180^\circ}`
`=\sqrt{P^2+Q^2-2PQ}`
`=\sqrt{{(P-Q)}^2}`
`=P- Q` (Ans)
৪। ঘর্ষণ কোণ ও ঘর্ষণ গুনাংকের মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন কর।
আমরা জানি, `\tan\phi=\frac FR`
`=\mu` (ঘর্ষণ ধ্রুবক) [`\because F=\mu R`]
`\therefore\tan\phi=\mu`
৫। প্রমাণ করো যে, `P_C\times P_D=\pi`, `P_C=`যেখানে সার্কুলার পিচ ও `P_D=`ডায়ামেট্রাল পিচ।
সার্কুলার পিচ `P_C=\frac{πD_{PITCH}}T` [এখানে, `D_{PITCH}=` পিচ ডায়ামিটার]
ডায়ামেট্রাল পিচ `P_D=\frac T{D_{PITCH}}`
এখন,
`P_{C\times}P_D=\frac{πD_{PITCH}}T\times\frac T{D_{PITCH}}`
`=\pi` (প্রমাণিত)
৬। দেখাও যে আশ্বশক্তি `HP=\frac{2πNT}{4500}` (সংকেত গুলো প্রচলিত অর্থ বহন করে)
আমরা জানি, ঘূর্ণনশীল বস্তুর জন্য P = টর্ক(T) × কৌণিক বেগ(ω)
যেখানে, কৌণিক গতি `\omega=\frac{2πN}{60}` (sec-1)
আমরা পাই, P = টর্ক(T) × কৌণিক বেগ(ω)
`=T\times\frac{2πN}{60}`
`=\frac{2πNT}{60}\times\frac1{75}` (kgf-m/sec)
`=\frac{2πNT}{4500}` [1 HP = 75 kgf-m/sec]
`\therefore HP=\frac{2πNT}{4500}` (প্রমাণিত)
